Lach Forum - lustiges Forum

[freki]

Eine Ente schwimmt mit einer Geschwindigkeit v_e auf einem kreisrunden See mit Radius r. Um den See herum läuft ein Fuchs mit der vierfachen Geschwindigkeit v_f = 4x v_e. Welchen Weg bzw. wie muss die Ente im See schwimmen, um an Land zu kommen und davon zu fliegen, ohne dass der Fuchs dort auf sie wartet um sie aufzufressen?

[rübennase]

Hi Freki

Ganz schön knifflig das Rätsel. Hab aber noch nicht ganz verstanden, ob der Fuchs nur im Kreis geht oder belauert er die Ente und wechselt ständig die Richtung, um jeweils die kürzeste Distanz zu halten?

Aber ich glaub da hätte die Ente wahrscheinlich gar keine Chance...

[kisslab]

Es lebt... juhuu *g*

Also mir fehlen da ein paar Werte.
Wie schnell kann die Ente an Land laufen?
Wie lange benötigt sie zum abheben und erreichen einer sicheren Flughöhe?
Seit wann können Enten nicht mehr im Wasser starten?

[LostTime]

Ich gehe davon aus, dass es sich hier um die gemeine Tang-Ente handelt?

[freki]

So, dann noch ein paar Antworten auf Eure Fragen:

@ Rübennase: Der Fuchs kann sich beliebig bewegen, die Richtung wechseln, weglaufen, ...
@ Kisslab: Nehmen wir für diese Fragestellung an, die Ente könne nicht im Wasser starten, sozusagen eine Nur-auf-Land-starten-Ente. Sobald die Ente also an Land ist, kann sie ohne Anlauf einfach wegfliegen um zu entkommen, der Fuchs hat keine Chance, wenn er nicht genau am gleichen Ort ist (es werden sozusagen auch jegliche Dimensionen der beiden Tiere vernachlässigt).
@ LostTime: gerne können wir annehmen, dass die gemeine Tang-Ente ist, sie muss ihrem Namen aber nicht zwangsläufig alle Ehre machen.

[kisslab]

Für den Anfang:
Ente in der Mitte, Fuchs am Ufer.
Die Ente muss dann r an Weg zurücklegen, der Fuchs in der gleichen Zeit 2*pi*r
der Weg unterscheidet sich also um den faktor 6,28. Die Geschwindigkeit aber nur um den Faktor 4.
Die Ente kann also ohne Problem entkommen, wenn sie in gerader Liene von der Startposition des Fuches wegschwimmt.
Solange die Ente sich also zum Startzeipunkt nicht näher als 4/6.28r (so das der Wegfaktor > 4 ist) vom Ufer entfernt ist und dann genau vom Fuchs wegschwimmt hat sie immer gewonnen.

[rübennase]

Die Ente muss dann r an Weg zurücklegen, der Fuchs in der gleichen Zeit 2*pi*r
der Weg unterscheidet sich also um den faktor 6,28. Die Geschwindigkeit aber nur um den Faktor 4.

Wenn die Ente von der Mitte aus los schwimmt, müßte der Fuchs nur maximal die Hälfte vom Umfang laufen und das wäre pi*r. Also würde der Fuchs die Ente fressen.

Vielleicht müßte sich die Ente irgendwie in einer Spiralbahn nähern. Aber nicht richtige Lösung fällt mir im moment auch nicht ein.

[kisslab]

F***.. ich wusste doch das da irgendwo ein Denkfehler drin war.

Wie wäre es mit:
Die Ente bleibt einfach solange auf dem See bis der Fuchs verhungert ist oder wieder abschwirrt.
Die Ente dürfte damit ja kein Problem haben.

Oder:
Wir plazieren wir sie einfach am Ufer und den Fuchs lassen wir am entgegengesetzten Ende
erscheinen. Problem gelöst.
Es sind ja keine Startpositionen vorgegeben.

[freki]

ok, ich ergänze: Die Ente befindet sich in der Mitte des Sees.

[LostTime]

Hm.. Im Prinzip müsste die Ente doch einfach genau auf den Fuchs zuschwimmen.
Die Ente hat eine Geschwindigkeit von r/t (für den Radius braucht sie die Zeit t). Der Fuchs hat damit eine Geschwindigkeit von 4r/t (halt die 4fache Geschwindigkeit, bzw. 4fache Strecke pro gleicher Zeiteinheit). Die Strecke, die der Fuchs bräuchte, um dann wieder an der Stelle zu sein, wo die Ente nun aus dem Wasser kommt, ist 2πr, also etwa 6.28r. In der Zeit t legt der Fuchs aber nur 4r zurück, er wird die Ente also nicht erwischen.
Im Idealfall bewegt sich die Ente sogar schon zum Ufer, wenn die Strecke des Fuchses auf dem Kreisbogen etwas kleiner als r ist, dann kommt sie knapp hinter dem Fuchs aus dem Wasser und hat alle Zeit der Welt und einen Vorsprung von 6.28r.

[kisslab]

@losti: Hmm.. der Fuchs kann sich beliebig bewegen.. der läuft nicht dumm im Kreis rum.

[LostTime]

Hm..
Der Fuchs muss max. 3.14r zurücklegen, um von einem Punkt um den See zu einem anderen zu kommen. Wenn die Ente von der Mitte am Rand ist, hat er aber schon 4r zurücklegen können, dadurch ist der Fuchs doch immer schon da, wo die Ente ist.

[kisslab]

ok, ich ergänze: Die Ente befindet sich in der Mitte des Sees.

Damit ist die Position des Fuchses nach wie vor freiwählbar.
Dann sage ich einfach: Die Ente sieht den Fuchs in einer Entfernung von 2r und schwimmt dann in die Entgegengesetzte Richtung. Der Fuchs muss (pi+1)*r laufen. Was dann etwas mehr als die 4fache Strecke ist.

[GF7185]

Ich würde sagen die Ente schwimmt auf den Fuchs zu, bis sie einen Radius r_e erreicht, bei dem sie mit ihrer v_e gerade noch eine höhere Winkelgeschwindigkeit hat als der Fuchs, wenn sie danach im Kreis schwimmt. Dann schwimmt sie solange im Kreis bis sie auf der entgegengesetzen Seite des Fuchses ist. Jetzt braucht sie nur noch die Strecke r - r_e zu schwimmen und könnte schneller als der Fuchs sein.

4*v_e/r = v_e/r_e

=> r_e = r/4

Die Zeit die sie dann noch zum Ufer braucht ist 3/4 r / v_e = 3r / 4v_e.
Der Fuchs muss den halben Teich umrunden und braucht Pi r / 4v_e.

Pi ist ein bisschen größer als drei, als braucht der Fuchs ein bisschen länger als die Ente.

Oder so ähnlich, was weiss ich denn...

[kisslab]

Das klingt nach einer sinnvollen Lösung.

[freki]

@ kisslab: ich ergänze noch mal: Der Fuchs ist am Ufer des Sees, nicht weiter davon entfernt.

@ GF7185: die Lösung ist richtig, innerhalb des Kreises mit Radius r/4 kann die Ente ihre Startposition relativ zum Fuchs am Ufer frei wählen.

[freki]

Mir ist hierzu noch eine Frage eingefallen: Wie schnell muss der Fuchs mindestens sein, dass die arme Ente keine Chance hat, ihm zu entkommen?

[kisslab]

Also, wir wissen das sie es schaffen kann wenn sie sich bei r/4 befindet und sich der Fuchs in Richtung ihres Pos befindet.
Interessanter wäre wie sie diese Position erreicht. Ausgangspunkt ist ja die Seemitte.
Weil näher an der Mitte kann sie hat sie zwar eine höhre Winkelgeschwindigkeit als der Fuchs und kann ihn oft genau hinter sich haben, dann ist es aber auch nicht mehr r/4 sondern entsprechend mehr.
Zumal man dem Fuchs ja die gleiche Intelligenz wie der Ente zugestehen muss. Solange sich die Ente nicht der r/4 marke nähert kann er einfach warten. Kurz bevor die Ente den kritischen Punkt erreicht und die 90° wende vollführt kann er loslaufen.

[GF7185]

Ist doch egal, so lange es kein Zeitlimit gibt reicht es der Ente, wenn sie minmal in dem r/4 Kreis bleibt. Und ein bisschen Reserve hat sie ja.

Zu der Erweiterung: Wenn man die Geschwindigkeit des Fuchses allgemein als v_f = f * v_e (1) schreibt, dann ist der Radius in dem die Ente mit dem Fuchs mithalten kann

2) r_e = r / f

Damit der Fuchs gleichzeitig mit der Ente ankommt muss

3) r * Pi / v_f = (r - r_e) / v_e

gelten.

(1) + (2) eingesetzt =>

r * Pi / (f * v_e) = (r - r / f) / v_e

=>

Pi / f = (1 - 1/ f)

=>

Pi = f - 1

=> f = Pi + 1 also v_f = (Pi + 1) * v_e

Immer vorausgesetzt, das das wirklich die optimale Taktik ist, und sich nicht mir einer "Spiralbahn" oder sonstwie noch Zeit für die Ente rausholen lässt.

[freki]

richtig. Eine andere, bessere Taktik ist mir an dieser Stelle auch nicht bekannt.